多賀城市の塾「ＹＳＴ塾」

多賀城・塩釜地区の中学生は、再来週が期末テスト。

授業でも、これまでの復習をする機会が増えてきました。

中３の試験範囲は主に「式の展開と因数分解」と「平方根」。

展開や因数分解では公式があるので、まずはそれをしっかりと身につけることが大切です。

そして応用になると、式の特色に応じて、「式の置き換え」をすることになります。

例えば次のような問題。
(1) ｘｙ－ｘ＋ｙ－１
(2) 25ｘ^2－30ｘｙ＋9ｙ^2－49

はじめてこのような問題を見ると、どこから手をつけていいのか分からないのですが、これらは別の見方をすると

「項が４つの式の因数分解」

ということができます。

中学校の因数分解では難しい部類に属します。

「項が４つの式の因数分解」を解き進めていく基本は、

☆２つずつの項の組にして式を置き換える
☆３つの項と１つの項に分ける

のいずれかになります。

(1)の場合にはまずは「ｘｙ－ｘ」と「ｙ－１」の組に分けます。

すると１つめの「ｘｙ－ｘ」は「ｘ(ｙ－１)」と変形できますから

ｘｙ－ｘ＋ｙ－１
＝(ｘｙ－ｘ)＋(ｙ－１)
＝ｘ(ｙ－１)＋(ｙ－１)
＝ｘＡ＋Ａ [ ← Ａ＝ｙ－１ とおいた]
＝(ｘ＋１)Ａ
＝(ｘ＋１)(ｙ－１)

となります。

これは「２つずつの項の組にして式を置き換える」例です。

続いて(2)。

この場合には、はじめの３項「25ｘ^2－30ｘｙ＋9ｙ^2」に着目します。

「25ｘ^2」 が「5ｘの２乗」であること、「9ｙ^2」が「3ｙの２乗」であることから

25ｘ^2－30ｘｙ＋9ｙ^2＝(5ｘ－3ｙ)^2

であることが導き出されます。

従って
25ｘ^2－30ｘｙ＋9ｙ^2－49
＝(5ｘ－3ｙ)^2 － 7^2
＝Ａ^2 － 7^2 [ ← Ａ＝5ｘ－3ｙ とおいた]
＝(Ａ＋7)(Ａ－7)
＝(5ｘ－3ｙ＋7)(5ｘ－3ｙ－7)

となります。

これは「３つの項と１つの項に分ける」例です。

後者の「３つの項と１つの項に分ける」は、今取り上げたように、ほぼすべての問題が

ａ^2－ｂ^2＝(ａ＋ｂ)(ａ－ｂ)

の公式に持ち込むパターンになります。

長々と書いてきましたが、要は

「項が４つの式の因数分解」を解き進めていく基本は、

☆２つずつの項の組にして式を置き換える
☆３つの項と１つの項に分ける

ということになります。

ここの部分で悩んでいる人がいましたら、参考にしてみて下さい。