【中3生・因数分解の応用】多賀城市|塾

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多賀城・塩釜地区の中学生は、再来週が期末テスト。

授業でも、これまでの復習をする機会が増えてきました。

中3の試験範囲は主に「式の展開と因数分解」と「平方根」。

展開や因数分解では公式があるので、まずはそれをしっかりと身につけることが大切です。

そして応用になると、式の特色に応じて、「式の置き換え」をすることになります。

例えば次のような問題。
(1) xy-x+y-1
(2) 25x^2-30xy+9y^2-49

はじめてこのような問題を見ると、どこから手をつけていいのか分からないのですが、これらは別の見方をすると

「項が4つの式の因数分解」

ということができます。

中学校の因数分解では難しい部類に属します。

「項が4つの式の因数分解」を解き進めていく基本は、

☆2つずつの項の組にして式を置き換える
☆3つの項と1つの項に分ける

のいずれかになります。

(1)の場合にはまずは「xy-x」と「y-1」の組に分けます。

すると1つめの「xy-x」は「x(y-1)」と変形できますから

xy-x+y-1
=(xy-x)+(y-1)
=x(y-1)+(y-1)
=xA+A [ ← A=y-1 とおいた]
=(x+1)A
=(x+1)(y-1)

となります。

これは「2つずつの項の組にして式を置き換える」例です。

続いて(2)。

この場合には、はじめの3項「25x^2-30xy+9y^2」に着目します。

「25x^2」 が「5xの2乗」であること、「9y^2」が「3yの2乗」であることから

25x^2-30xy+9y^2=(5x-3y)^2

であることが導き出されます。

従って
25x^2-30xy+9y^2-49
=(5x-3y)^2 - 7^2
=A^2 - 7^2 [ ← A=5x-3y とおいた]
=(A+7)(A-7)
=(5x-3y+7)(5x-3y-7)

となります。

これは「3つの項と1つの項に分ける」例です。

後者の「3つの項と1つの項に分ける」は、今取り上げたように、ほぼすべての問題が

a^2-b^2=(a+b)(a-b)

の公式に持ち込むパターンになります。

長々と書いてきましたが、要は

「項が4つの式の因数分解」を解き進めていく基本は、

☆2つずつの項の組にして式を置き換える
☆3つの項と1つの項に分ける

ということになります。

ここの部分で悩んでいる人がいましたら、参考にしてみて下さい。

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  1. 2016 02.10

    中3塾

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